Найбільший загальний фактор, також відомий як найбільший загальний дільник і найбільший загальнийФактор, відноситься до найбільших з дільників, які поділяють два або більше цілих чисел .
Найбільший загальний дільник A, B позначається як (A, B).Аналогічно, найбільший поширений дільник A, B, C позначається як (A, B, C).Найбільші поширені дільники з кількох цілих чисел мають однаковий знак .
Існує багато способів знайти найбільший загальний дільник.Поширені фактори включають основну факторизацію, короткий поділ, поділ фаз кочення та більше віднімання .
Концепція, що відповідає найбільшому загальному дільнику, є найменш поширеною множинною, і найменш поширений кратний A, B записується як [A, B] .
Якщо число A ділиться за числом B, A називається кратним B, і B називається дільником A .
І дільниці, і кратні представляють взаємозв'язок одного цілого числа до іншого, і не можуть існувати поодинці.Наприклад, ми можемо сказати лише, що 16 - це кратне певне число, а 2 - це дільник певного числа, але ми не можемо сказати, що 16 - це багаторазовий, а 2 - це дільниця.
Найбільший спільний дільник (НСД), також званий найбільшим спільним дільником (НСД) двох або більше цілих чисел, — це найбільше додатне число, яке ділить їх усі точно (без залишку).
Наприклад, НСД 18 та 24 дорівнює 6, оскільки 6 — найбільше число, яке ділить обидва числа порівну.
НСД корисний для:
Спрощення дробів до їх найменших членів.
Розкладання на множники та розв'язання математичних рівнянь.
Зведення відношень до їх найпростішої форми.
Розв'язування задач теорії чисел, що стосуються подільності або модульної арифметики.
Пошук спільних закономірностей у цілих числах або оптимізація алгоритмів, що спираються на повторювані структури.
Це допомагає усунути надлишковість та досягти ефективності в математичних та реальних застосуваннях.
Існує кілька методів знаходження НСД двох чисел:
Перелік множників: Перелічіть усі дільники кожного числа та знайдіть найбільший спільний з них.
Розкладання на прості множники: Розбийте обидва числа на їхні прості множники та помножте їх поширені.
Алгоритм Евкліда: Неодноразово віднімайте менше число від більшого або використовуйте ділення з остачею, доки остача не стане нульовою. Остання ненульова остача – це НСД.
Приклад алгоритму Евкліда для НСД(a, b):
НСД(48, 18):
48 ÷ 18 = 2 остача 12
18 ÷ 12 = 1 остача 6
12 ÷ 6 = 2 остача 0
→ НСД дорівнює 6
Використовуйте НСД, коли:
Зведення дробів або відношень до найпростішої форми.
Розв'язування Діофантові рівняння (рівняння з цілочисельними розв'язками).
Оптимізація алгоритмів, що включають цикли, обертання або розбиття.
Визначення того, чи є два числа взаємно простими (тобто їхній НСД дорівнює 1).
Поділ елементів на групи з максимально можливим рівним розміром (наприклад, розподіл чогось порівну між людьми або контейнерами).
НСД є фундаментальним як в базовій арифметиці, так і в більш просунутій теорії чисел або розробці алгоритмів.
