Ước chung lớn nhất, còn được gọi là ước chung lớn nhất và ước chung lớn nhất, đề cập đến ước chung lớn nhất của hai hoặc nhiều số nguyên.
Ước chung lớn nhất của a, b được ký hiệu là (a, b). Tương tự, ước chung lớn nhất của a, b, c được ký hiệu là (a, b, c). Ước chung lớn nhất của nhiều số nguyên có cùng dấu.
Có nhiều cách để tìm ước chung lớn nhất. Các ước chung bao gồm phân tích thừa số nguyên tố, phép chia ngắn, phép chia pha lăn và phép trừ khác.
Khái niệm tương ứng với ước chung lớn nhất là bội số chung nhỏ nhất và bội số chung nhỏ nhất của a, b được ghi là [a, b].
Nếu số a chia hết cho số b, a được gọi là bội số của b và b được gọi là ước số của a.
Cả số chia và số bội đều biểu diễn mối quan hệ giữa một số nguyên với một số nguyên khác và không thể tồn tại riêng lẻ. Ví dụ, chúng ta chỉ có thể nói rằng 16 là bội số của một số nhất định và 2 là ước số của một số nhất định, nhưng chúng ta không thể nói riêng lẻ rằng 16 là bội số và 2 là ước số.
Ước chung lớn nhất (GCD), còn được gọi là Ước chung lớn nhất (GCF), của hai hoặc nhiều số nguyên là số dương lớn nhất chia hết cho tất cả các số đó (mà không để lại số dư).
Ví dụ, GCD của 18 và 24 là 6, vì 6 là số lớn nhất chia hết cho cả hai.
Ước chung lớn nhất hữu ích cho:
Rút gọn phân số thành dạng tối giản.
Phân tích và giải phương trình toán học.
Giảm tỷ lệ xuống dạng đơn giản nhất của chúng.
Giải các bài toán về lý thuyết số liên quan đến khả năng chia hết hoặc số học mô-đun.
Tìm các mẫu chung trong các số nguyên hoặc tối ưu hóa các thuật toán dựa trên các cấu trúc lặp lại.
Giúp loại bỏ sự trùng lặp và tìm ra hiệu quả trong các ứng dụng toán học và thực tế.
Có một số phương pháp để tìm ƯCLN của hai số:
Liệt kê các ước: Liệt kê tất cả các ước của mỗi số và tìm ước chung lớn nhất mà chúng có.
Phân tích thừa số nguyên tố: Chia cả hai số thành các thừa số nguyên tố của chúng và nhân các thừa số chung.
Thuật toán Euclid: Lặp lại phép trừ số nhỏ hơn khỏi số lớn hơn hoặc sử dụng phép chia có phần dư cho đến khi phần dư bằng không. Phần dư khác không cuối cùng là GCD.
Ví dụ về Thuật toán Euclid cho GCD(a, b):
GCD(48, 18):
48 ÷ 18 = 2 phần dư 12
18 ÷ 12 = 1 phần dư 6
12 ÷ 6 = 2 phần dư 0
→ GCD là 6
Sử dụng GCD khi:
Rút gọn phân số hoặc tỷ số thành dạng tối giản nhất.
Giải phương trình Diophantine (phương trình có nghiệm nguyên).
Tối ưu hóa các thuật toán liên quan đến chu trình, phép quay hoặc phân vùng.
Xác định xem hai số có phải là số nguyên tố tương đối không (tức là, ƯCLN của chúng bằng 1).
Chia các mục thành các nhóm có kích thước bằng nhau lớn nhất có thể (ví dụ: chia đều một thứ gì đó cho mọi người hoặc các thùng chứa).
ƯCLN là cơ bản trong cả số học cơ bản và lý thuyết số nâng cao hơn hoặc thiết kế thuật toán.
