Le plus grand facteur commun, également connu comme le plus grand diviseur commun et le plus grand commun communFacteur se réfère au plus grand des diviseurs partagés par deux ou plusieurs entiers .
Le plus grand diviseur commun de a, b est indiqué (a, b).De même, le plus grand diviseur commun de a, b, c est indiqué (a, b, c).Les plus grands diviseurs communs de plusieurs entiers ont le même signe .
Il existe de nombreuses façons de trouver le plus grand diviseur commun.Les facteurs communs incluent la factorisation principale, la division courte, la division de phase de roulement et plus de soustraction .
Le concept correspondant au plus grand diviseur commun est le multiple le moins courant, et le multiple le moins commun de a, b est enregistré comme [a, b] .
Si le numéro A est divisible par le nombre B, A est appelé un multiple de B, et B est appelé diviseur d'un .
Les diviseurs et les multiples représentent la relation d'un entier à un autre et ne peuvent pas exister seuls.Par exemple, nous pouvons seulement dire que 16 est un multiple d'un certain nombre et 2 est un diviseur d'un certain nombre, mais nous ne pouvons pas dire isolément que 16 est un multiple et 2 est un diviseur.
Le plus grand commun diviseur (PGCD), également appelé plus grand commun facteur (PGCD), de deux entiers ou plus est le plus grand nombre positif qui les divise tous exactement (sans laisser de reste).
Par exemple, le PGCD de 18 et 24 est 6, car 6 est le plus grand nombre qui les divise tous deux de manière égale.
Le PGCD est utile pour :
Simplifier les fractions à leur plus simple expression.
Factoriser et résoudre des équations mathématiques.
Réduire les rapports à leur plus simple expression.
Résoudre des problèmes de théorie des nombres impliquant la divisibilité ou l'arithmétique modulaire.
Trouver des motifs communs dans les nombres entiers ou optimiser des algorithmes qui reposent sur des structures répétées.
Cela permet d'éliminer les redondances et d'optimiser les applications mathématiques et concrètes.
Il existe plusieurs méthodes pour trouver le PGCD de deux nombres :
Énumérer les facteurs : Énumérer tous les diviseurs de chaque nombre et trouver le plus grand qu'ils ont en commun.
Factorisation en facteurs premiers : Décomposez les deux nombres en leurs facteurs premiers et multipliez leurs communs.
Algorithme d'Euclide : Soustrayez plusieurs fois le plus petit nombre du plus grand ou utilisez la division avec reste jusqu'à ce que le reste soit nul. Le dernier reste non nul est le PGCD.
Exemple d'algorithme d'Euclide pour le PGCD(a, b) :
PGCD(48, 18) :
48 ÷ 18 = 2 reste 12
18 ÷ 12 = 1 reste 6
12 ÷ 6 = 2 reste 0
→ Le PGCD est 6
Utiliser le PGCD lorsque :
Réduire des fractions ou des rapports à leur forme la plus simple.
Résoudre des équations diophantiennes (équations à solutions entières).
Optimiser des algorithmes impliquant des cycles, des rotations ou des partitions.
Déterminer si deux nombres sont premiers entre eux (c'est-à-dire si leur PGCD est égal à 1).
Diviser des éléments en groupes de taille égale la plus grande possible (par exemple, répartir un élément de manière égale entre des personnes ou des conteneurs).
Le PGCD est fondamental, tant en arithmétique de base qu'en théorie des nombres plus avancée ou en conception d'algorithmes.
